Négyvektorok

A négyvektorok a relativisztikus téridő, vagy Minkowski-tér, négykomponensű vektorai, amelyeket a fizika elméleti leírásában használnak. A klasszikus háromdimenziós vektorok helyett négy komponensból álló objektumokat alkalmaznak, hogy a Lorentz-transformációk alatt illetve a c relativisztikus elvek mellett megőrződő mennyiségeket egyszerűbben írják le.

A gyakran használt forma szerint a négyvektor x^μ = (ct, x, y, z), ahol a időkomponenset gyakran ct-ként vesszük fel. A négyzetre vett belső szorzatot a Minkowski-metrixtükrökre építjük: g_μν = diag(1, -1, -1, -1) (vagy a konvenciók között előforduló −,+,+,+). Ezzel a Covariant és contravariant formák kapcsolata x_μ = g_μν x^ν, és a belső szorzat a a^μ b_μ = g_μν a^μ b^ν. A Lorentz-transzformációk alatt x'^μ = Λ^μ_ν x^ν maradéktalanul érvényes, amely a relativisztikus törvények invarianciáját biztosítja.

Fontos, hogy a négyvektorok háromszereplő helyett négykomponensűek maradnak, és a normájuk invariáns. A Minkowski-beli norm például x^μ x_μ = c^2 t^2 − x^2 − y^2 − z^2. Ebből adódik, hogy a négyvektorok között megkülönböztethetünk kontravariáns és covariáns alakokat, és a konvenciók szerint a fenti összefüggések érvényesek.

Példák a négyvektorokra: a négyhelyzet (négypozíció) x^μ, a négysebesség u^μ = dx^μ/dτ, ahol τ a sajátidő. A négymomentum p^μ = m u^μ = (γmc, γmv_x, γmv_y, γmv_z), és a négyerő F^μ = dp^μ/dτ. A p^μ p_μ = m^2 c^2 invariánsan áll, és a négyerőmind a Lorentz-invariáns törvények formájában írható le.