Mátrix

A mátrix egy m×n-es, elemekből álló rendezett tömb. Írhatjuk A = [a_ij], ahol i a sorok száma (1-től m-ig), j az oszlopok száma (1-től n-ig). A mátrixot gyakran A ∈ F^{m×n}-nel jelöljük, ahol F lehet a valós számok halmaza (R) vagy a komplex számok halmaza (C).

Alapműveletek közé tartozik az összeadás és a skalárszorzás, valamint a mátrixszorzás: A ∈ R^{m×n}, B ∈ R^{n×p} esetén AB ∈ R^{m×p}. Transzpozíció: A^T. A sor- és oszlopműveletek segítenek különböző alakokra hozni a mátrixot. Négyzetes mátrix esetén értelmezhető a determináns det(A); ha det(A) ≠ 0, akkor A invertálható és létezik A^{-1}. Zérusmátrix és egységmátrix ismertek alapfogalmak.

Fontos fogalmak: a rang(A) megadja, hány független sor/oszlop van; a determináns a négyzetes mátrixok tulajdonsága; az eigenértékek és sajátvektorok a mátrix transzformációjának kiemelkedő jellemzői. Szimmetrikus mátrixoknál A^T = A, szkew-szimmetrikusaknál A^T = -A.

További osztályozás: diagonális és szimmetrikus mátrixok, ortogonális mátrixok (A^T A = I). Gyakorlati számításoknál gyakran használt LU-, QR- vagy SVD-dekompozíciók megoldásokra és adatelemzésre.

Alkalmazási területek: lineáris egyenletrendszerek megoldása, lineáris transzformációk, számítógépes grafika, statisztika és gépi tanulás. Történelem: a mátrixfogalom a 19. században alakult ki; a matrix-kifejezés és a mátrixelmélet fejlődésében Cayley fontos szerepet játszott. Ma a numerikus számításokban kulcsfontosságú eszköz.