Minkowskijdimensjon

Minkowskijdimensjon, ofte omtalt som box‑counting-dimensjon, er en måte å beskrive hvor komplisert et avgrenset geometrisk sett er i et n-dimensjonalt rom. Den bygger på hvor mange små kasser eller balls av størrelse ε som trengs for å dekke settet.

For et avgrenset sett A i R^n lar man N(A, ε) være minste antall kasser av side lengde ε som dekker A. Den første Minkowskijdimensjonen defineres som d_M = lim_{ε→0} (log N(A, ε)) / (−log ε), hvis grensen eksisterer. Dette gir et mål på hvordan dekke-kravet vokser når man ser på stadig mindre skalaer. Det finnes også oppe og nede Minkowskijdimensjoner, definert som limsup og liminf av samme uttrykk når ε går mot null.

Minkowskijdimensjonen er nært knyttet til hvordan volumet av ε‑naboen til settet skalerer. For et sett i R^n beskrives ofte størrelsen av A_ε (ε‑nabolaget) ved at vol(A_ε) skalerer som ε^{n−d}, hvor d er d_M. Når grensen eksisterer, kalles tallet kontent eller Minkowskisk innhold, og det kan gi et konstantfaktortall i denne asymptotiske skaleringen.

Egenskaper og eksempler: For en jevnt glatt linje eller et kompakt område i R^n er d_M lik den topologiske dimensjonen. For mange velkjente fraktale sett, som self‑similarer, er Minkowskijdimensjonen lik Hausdorff-dimensjonen under visse betingelser; det finnes også sett der de ikke er like. Eksempler: intervallet [0,1] har d_M = 1; en endelig sett har d_M = 0. Standard fraktale sett som Sierpinski‑triangle eller Cantor‑sett har ofte d_M som tilsvarer deres kjente dimensjoner. Minkowskijdimensjon brukes i fraktalgeometri og anvendelser som bildeanalyse og mønstergjenkjenning.