Minimointitehtävässä

Minimointitehtävässä viittaa matemaattiseen ongelmaan, jossa tavoitteena on löytää syötteiden joukko, joka tuottaa funktion minimiarvon. Tämä on keskeinen käsite optimoinnissa, joka on laaja matematiikan ala, joka käsittelee korkeimman tai alhaisimman arvon löytämistä tietyllä syötteellä. Minimointitehtävässä voidaan ilmaista matemaattisesti seuraavasti: Etsi vektori x, joka minimoi funktion f(x).

Funktiota f(x) kutsutaan kohdefunktioksi tai kustannusfunktioksi. Vektoria x kutsutaan päätösmuuttujaksi. Funktion minimiarvo on funktion pienin mahdollinen arvo kaikilla mahdollisilla syötteillä. Ratkaisua, joka tuottaa minimiarvon, kutsutaan optimaaliseksi ratkaisuksi.

Minimointitehtävässä esiintyy monilla aloilla, kuten taloustieteessä, tekniikassa ja koneoppimisessa. Esimerkiksi taloustieteessä yritys voi yrittää minimoida kustannuksiaan tai maksimoida voittojaan. Tekniikassa insinöörit voivat yrittää minimoida materiaalien käytön tai maksimoida rakenteen lujuuden. Koneoppimisessa algoritmit pyrkivät minimoimaan ennustusvirheen.

Minimointitehtävien ratkaisemiseen on kehitetty useita menetelmiä. Yksinkertaisimmissa tapauksissa funktion derivaatan asettaminen nollaksi voi paljastaa paikalliset minimit. Monimutkaisempien funktioiden tai useiden muuttujien tapauksessa käytetään iteratiivisia menetelmiä, kuten gradienttilaskua tai Newtonin menetelmää. Joissakin tapauksissa voidaan käyttää myös lineaarisia tai epälineaarisia optimointialgoritmeja. Tehtävän muotoilusta ja rajoituksista riippuen optimointiongelmat voivat olla helppoja tai erittäin haastavia ratkaista.