Maatrikslahenduste

Maatrikslahendused on lineaarsete süsteemide lahendamiseks kasutatavate meetodite kogum, mille alus on maatriks A ja vektorid x ning b. Põhivorm on Ax = b, kus A on koefitsientide maatriks, x lahendusvektor ja b sihtvektor. Süsteem on ühilduv, kui rank([A|b]) = rank(A). Lahenduste arv sõltub maatriksi suurusest; kui rank(A) = n, lahendus on unikaalne; kui rank(A) < n, lahendusi on lõpmatult palju.

Otselahendused hõlmavad Gaussi eliminatsiooni ja redutseeritud vormi loomist, LU- ja QR-dekompositsioone ning vajadusel maatriksi pööratavuse kasutamist lahenduse saamiseks x = A^{-1} b (kui A on pööratav).

Iteratiivsed meetodid sobivad suurte või sparse maatriksi puhul: Jacobi, Gauss-Seidel ja järjestikune ülerelaksatsioon (SOR) ning konjugaatne gradient (CG) meetod; need on eriti kasulikud sümmeetriliste positiivselt määratud (SPD) maatriksite puhul. Need meetodid arendavad lahenduse lähedust samm-sammult, kuni viga on soovitud täpsusega.

Numbriline stabiilsus ja konditsioneerimine on olulised aspektid: vale meetodi valimine või suur konditsioneerimine võib viia suurte vigadeni. Seetõttu valitakse lahendusviis vastavalt maatriksi iseloomule ja soovitud täpsusele.

Maatrikslahenduste valdkonnas kasutatakse laialdaselt tarkvara ja raamatukogusid nagu LAPACK, BLAS, MATLAB, NumPy ja SciPy, Eigen ning teisi tööriistu. Rakendused leidub inseneriteadustest füüsikani ning arvutigraafikast majandusteaduseni.