Løsningssettet

Løsningssettet er et matematisk begrep som beskriver alle elementer som oppfyller gitt vilkår eller likheter. Det kan også kalles løsningsmengde. For et uttrykk eller en ligning skrives ofte løsningssettet som S og defineres som S = { x i D | P(x) er sann }, der D er domene eller området man betrakter. Løsningssettet kan være tomt, ha et endelig antall løsninger eller være uendelig mange, avhengig av problemet og domenet.

Løsningssett opptrer i flere former. For en likning f(x) = 0 består løsningssettet av alle x som gjør likningen sann. For et system av likninger, slik som Ax = b, er løsningssettet alle vektorene x som tilfredsstiller alle likningene samtidig. For uligheter, som g(x) ≤ 0, er løsningssettet alle x som oppfyller uligheten; grafisk representeres det ofte som en region i rommet. Alle disse kan ha varierende geometrisk form, fra et punkt til en linje, et plan eller en mer kompleks region.

Eksempler: Ligningen 2x + 3 = 7 har løsningssettet {2}. Ligningen x^2 - 5 = 0 har løsningssettet { -√5, √5 }. For to variable systemer: x + y = 3 og x − y = 1 har løsningssettet { (2, 1) }.

Notasjon og metoder: Løsningssettet kan uttrykkes som preimage, S = f^{-1}({0}) for en funksjon f, eller som en løsning av et sett ligninger. Metoder for å bestemme løsningssettet inkluderer algebraisk manipulasjon, substitusjon, eliminering og Gauss-eliminering; for uligheter brukes ofte intervalltest eller sign-analyse. Det rette domenet må alltid spesifiseres, da løsningssettet kan endre seg med begrensningen på variablene.