Lähistökäsitteet

Lähistökäsitteet ovat matemaattisia käsitteitä, jotka kuvaavat paikallista läheisyyttä tiettyyn pisteeseen nähden. Ne ovat keskeisiä topologiassa ja analyyttisissä yhteyksissä ja muodostavat kehyksen, jolla tutkitaan alueiden käyttäytymistä pienellä skaalalla.

Peruskäsite on lähistö. Oletetaan, että X on topologinen tila ja x ∈ X. Lähistö N x on osajoukko X:stä, joka sisältää avoimen joukon U siten, että x ∈ U ⊆ N x. Toisin sanoen N x on lähistö pisteelle x. Metrikkitilassa jokaiselle x ja r > 0 on avoin pallo B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}, ja mikä tahansa N x, joka sisältää jonkin B(x, r):n, on lähistö x:lle.

Avoimuus on keskeinen sukulainen käsite. Jokainen avoin joukko on sellainen, että jokaisessa pisteessä sisällä on pienempi avoin pallo, joka kuuluu joukkoon. Lähistöjä käytetään tarkastelemaan muita rakennelmia kuten sisä-, sulkeuma- ja rajoitusominaisuuksia sekä määrittelemään käsitejoukot.

Käyttö ja merkitys. Lähistökäsitteet muodostavat pohjan jatkuvuuden ja konvergenssin muodollisille määritelmille: funktio f:X→Y on jatkuva pisteessä x, jos jokaiselle lähistölle V of f(x) löytyy lähistö U of x siten, että f(U) ⊆ V. Ne ovat olennaisia myös rajojen, käänteisien kuvaajien ja tilojen rakenteiden ymmärtämisessä sekä auttavat yhteyksien ja lähdealueiden analysoinnissa yleisesti.

Esimerkki. Z ja R standardimetriikalla: pisteen x lähistöt voidaan kuvata avointen intervalien kautta, kuten (x−ε, x+ε). Tämä konkretisoi, miten lähistöjen avulla voidaan tarkastella paikallista käyttäytymistä.