Logaritmiska

Logaritmiska begreppet används inom matematiken för att beskriva logaritmer. En logaritm till basen b är den exponent y som b måste upphöjas till för att ge talet x. Den matematiska definitionen skrivs som log_b(x) = y om b^y = x, där b > 0 och b ≠ 1 samt x > 0. Logaritmer är inversa funktioner till exponentiella funktioner.

Vanliga baser är basen 10, som ofta kallas det decimala logaritmsystemet, och basen e, där den naturliga logaritmen ln(x) används. Euler-talets bas e uppgår till cirka 2,7182818. För varje bas b finns en motsvarande logaritm.

Viktiga logaritmlagar är: log_b(xy) = log_b x + log_b y, log_b(x^k) = k log_b x och change-of-base-formeln log_b x = log_k x / log_k b för vilken annan bas som helst. Om b > 1 är log_b(x) en växande funktion (monotont ökad), medan den är avtagande om 0 < b < 1. Domänen är x > 0.

Grafiskt har logaritmiska funktioner en vertikal asymptot vid x = 0, passerar genom (1, 0) oavsett bas, och växer långsamt jämfört med polynom. De används ofta för att omvandla multiplicativa relationer till additiva.

Användningar inkluderar mätning av stor spridning i data via log-skalor, pH och ljudnivåer (decibel), samt analys av algoritmers tidskomplexitet som ofta betecknas som O(log n). Logaritmer används också i statistik och olika vetenskaper för att modellera exponentiell tillväxt och för att stabilisera data.