Logaritmi

In matematica, un logaritmo è l’esponente al quale deve essere elevata una base per ottenere un certo valore. Per una base b > 0, b ≠ 1, il logaritmo di x si indica log_b(x) e si definisce solo per x > 0. Le basi comuni sono 10 (logaritmo comune) e e (logaritmo naturale, denotato ln).

Il logaritmo è l’inverso dell’elevazione a potenza: b^{log_b(x)} = x e log_b(b^y) = y. Le regole principali includono log_b(xy) = log_b x + log_b y e log_b(x^k) = k log_b x. La formula di cambio di base log_b x = log_k x / log_k b vale per ogni base positiva k ≠ 1.

Base e dominio: la base deve essere positiva diversa da 1. Le basi maggiori di 1 producono logaritmi crescenti; basi tra 0 e 1 producono logaritmi decrescenti. Base comuni: 10, e, 2. L’intervallo di definizione è x > 0 e log_b(1) = 0.

Storia e applicazioni: i logaritmi furono introdotti nel XVII secolo da John Napier e sviluppati da Henry Briggs; l’uso pratico si diffuse con le tavole logaritmiche e le regole sui planisferi. Tra le applicazioni: risoluzione di equazioni esponenziali, misurazioni su scale logaritmiche (pH, decibel, scala di Richter), analisi di dati in informatica e matematica, e in finanza per rendimento su scala logaritmica.

Esempi: log_2(8) = 3; ln(e^4) = 4; log_10(1000) = 3.