Logaritmefunksjoner

Logaritmefunksjoner er funksjoner som er inverse til eksponentialfunksjoner. For en base b > 0 med b ≠ 1 defineres log_b(x) som y slik at b^y = x. Funksjonen er derfor definert for x > 0 og har som verdimengde alle reelle tall. De viktigste basene er den naturlige logaritmen ln(x) = log_e(x) (base e) og den vanlige logaritmen log_10(x).

Ulike identiteter: log_b(1) = 0 og log_b(b) = 1. Produktregelen: log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y). Eksponentregelen: log_b(x^k) = k log_b(x). Endring av base: log_b(x) = ln(x)/ln(b) = log_k(x)/log_k(b) for hvilken som helst base k > 0, k ≠ 1.

Monotoni og domene: log_b(x) er økende hvis b > 1 og avtagende dersom 0 < b < 1. Domene er x > 0, og rekkevidden er alle reelle tall. Derivativ: d/dx log_b(x) = 1/(x ln b) for x > 0, noe som viser vekstmønster og kurvens helning.

Graf og anvendelser: Grafen går mot −∞ når x nærmer seg 0 fra høyre, og mot +∞ når x → ∞ (for b > 1). Logaritmefunksjoner brukes til å løse eksponentiallikninger, modellere vekst og nedgang, til måling og skalaer i vitenskap, samt i beregninger som krever komprimering av tallomfang.