Lineaaroperaatoreid

Lineaaroperaatorid on matemaatikas funktsioonid, mis seostavad vektoreid teistest vektoritest nii, et need säilitavad vektorite aditiivsuse ja skalaarkorrutise omadused. Need on fundamentaalsed objektid lineaarses algebris ja funktsionaalanalüüsis.

Formaalselt öeldes on operaator T lineaarseks, kui kahe vektori u ja v ning mis tahes skalaari c korral kehtivad järgmised kaks tingimust: T(u + v) = T(u) + T(v) (aditiivsus) ja T(c * u) = c * T(u) (skalaarkorrutise säilitamine). Need omadused tähendavad, et operaator ei moonuta vektorite geomeetrilist struktuuri, säilitades sirgjooned ja paralleelsuse.

Lineaaroperaatoreid saab esitada maatriisidena, eriti kui tegemist on lõplikumõõtmeliste vektorruumidega. Maatriisiga korrutamine on näide lineaarse operaatori rakendamisest. Maatriisi iga rida ja veerg kirjeldab, kuidas operaator mõjub baasvektoritele ja seeläbi kogu ruumile.

Lineaaroperaatoreid kasutatakse laialdaselt paljudes teadus- ja insenerivaldkondades. Näiteks füüsikas kirjeldavad need muutusi süsteemides, nagu pöörded või venitus, ning matemaatikas on nad diferentsiaaloperaatorite aluseks. Funktsionaalanalüüsis uuritakse neid ka lõpmata-mõõtmelistes ruumides, kus nende omadused ja rakendused on veelgi mitmekesisemad.