Lineaarikuvausten

Lineaarikuvaus, tunnettu myös nimellä lineaarimuunnos, on funktio kahden vektoritilan välillä, joka säilyttää vektorien yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen. Toisin sanoen, jos $T$ on lineaarikuvaus vektoriavaruudesta $V$ vektoriavaruuteen $W$, ja $u, v \in V$ sekä $c$ on skalaari, niin pätevät seuraavat ehdot: $T(u + v) = T(u) + T(v)$ ja $T(c \cdot u) = c \cdot T(u)$.

Lineaarikuvausten käsite on keskeinen lineaarialgebrassa. Ne kuvaavat, miten vektoreita voidaan muuntaa säilyttäen samalla nämä kaksi perustavanlaatuista operaatiota. Esimerkiksi kaksiulotteisen avaruuden lineaarikuvaukset voidaan esittää $2 \times 2$ matriiseilla. Kertomalla vektori tällaisella matriisilla saadaan uusi vektori, joka on alkuperäisen vektorin lineaarisesti muunnettu kuva.

Lineaarikuvaukset ovat tärkeitä monilla matematiikan ja fysiikan aloilla, kuten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa, geometrisissa muunnoksissa ja kvanttimekaniikassa. Jokainen lineaarikuvaus voidaan esittää matriisina, ja toisaalta jokainen matriisi määrittelee lineaarikuvauksen. Tämä yhteys matriisien ja lineaarikuvausten välillä on yksi lineaarialgebran tärkeimmistä tuloksista.