Közelítéselmélet

Közelítéselmélet a matematikai analízis egyik ága, amely a függvények és jelek lehető legpontosabb, egyszerűbb modellekkel történő közelítésének elméleti és gyakorlati kérdéseit vizsgálja. A vizsgált modellek közé tartoznak a polinomok, trigonometrikus polinomok, splinek, racionális függvények, valamint egyes neurális hálózatok és más nemlineáris közelítési formák. A központi probléma az optimális közelítés meghatározása: mekkora a hiba, és hogyan változik a hiba a modell komplexitásával vagy a jel simaságával.

Klasszikus eredmények közé tartozik a Weierstrass-tétel, amely szerint zárt intervallumon folytonos függvények polinomokkal egyenlő mértékben közelíthetők. Ennek általánítása a Stone–Weierstrass-tétel. Konstrukciós példát adnak Bernstein-polinomok formájában a polinomokkal történő közelítésre. Jackson-típusú becslések a függvény simasága és a megengedett hiba közötti kapcsolatot fejezik ki, a folytonossági modulus pedig a közelítés ütemét írja le.

Fontos fogalmak közé tartozik a legjobb közelítés egy adott normában vett hibája, a konvergencia üteme és a hibát jellemző mérőszámok. További kulcsfogalmak a Kolmogorov-n szélességek, amelyek az adott osztály legjobb teljesítményét mérik egy megadott dimenziókorlát mellett. Nonlineáris közelítés és sparság-centrikus módszerek, valamint greed-algoritmusok a modern közelítéselmélet fontos irányai.

Az alkalmazások széles skálán mozognak: numerikus analízis, jel- és képfeldolgozás, adatszűrés és illesztés, gépi tanulás alapelveinek megértése és modellezése. A közelítéselmélet így hidat teremt a matematikai alapok és a gyakorlati számítástechnika között.