Kärkipisteitä

Kärkipisteitä, tai extreme points, ovat konveksianalyysin peruskäsitteitä. Olkoon C konveksi joukko vektoritilassa. X ∈ C on kärkipiste, jos sitä ei voi kirjoittaa muotoon X = λY + (1−λ)Z, missä Y,Z ∈ C ja 0 < λ < 1. Toisin sanoen, jos X = tY + (1−t)Z ja Y,Z ∈ C sekä t ∈ (0,1), niin Y = Z = X. Näin ollen kärkipiste on sellainen piste, jota ei voi ilmaista kahden muun pisteen epälineaarisena yhdistelmänä C:n sisällä.

Kärkipisteillä on keskeinen rooli konveksien hullujen rakentamisessa: C on usein konveksin hullun kaikkien kärkipisteiden konveksin hullun tulos. Polytopeissa kärkipisteet vastaavat kulmapisteitä, eli vertices, ja monissa käytännön tapauksissa joukko on konveksinen hullun kaikkien näiden pisteiden avulla. Esimerkkejä: lineaarijoukkojen segmentin kärkipisteet ovat sen päätepisteet; kolmiot ovat kolmen kärkipisteensä muodostamia; neliöillä ovat neljä kulmapistettä, eikä esimerkiksi keskikohtia.

Diskin tai ympyränkaltaisen eli strictly convex -kudoksen tapauksessa kaikki reunapisteet voivat olla kärkipisteitä; esimerkiksi unit diskissa reunapisteet ovat kärkipisteitä, ja disk muodostuu näiden pisteiden konveksin hullusta.

Teoreettisesti tärkeä on Krein–Milman-teoreema: kompaktin konveksisen joukon K voidaan esittää suljettuna konveksina hulluna sen kärkipisteiden kautta, eli K = cl(conv(E(K))). Tämä korostaa kärkipisteiden tärkeää roolia konveksissa rakenteissa.