Kvantileihin

Kvantileihin, suomeksi kvantilit, ovat tilastollisia arvoja, jotka jakavat jakauman osiin, joissa kuhunkin osioon kuuluu sama todennäköisyys. Ne antavat kokonaiskuvan siitä, miten datan arvojen jakauma asettuu ja miten poikkeamat on sijoitettavissa suhteessa toisiinsa. Kvantileihin voidaan tarkastella sekä teoreettisina populaatioarvoina että näytteistä estimaatteina.

Määritelmä: Olemme satunnaismuuttujan X kumulatiivisen jakauman F(x) = P(X ≤ x) kanssa. P-quantili q_p on arvo, joka täyttää F(q_p) = p, kun p kuuluu (0,1). Jos jakauma on epätasainen tai epästabiili, kvantileilla voi olla useampia, viittaisivatko ne eri arvoihin, mutta jatkuvissa jakaumissa ne ovat usein yksikäsitteisiä.

Esimerkkejä: 0,5-quantili on mediaani, jonka pisteen ympärillä puolet havainnoista on alapuolella ja puolet yläpuolella. 0,25- ja 0,75-quantileilla puhutaan kvartileista, jotka erottavat 25% ja 75% datasta. Prosenttiluvut yleisessä muodossaan vastaavat suuria kvantileja.

Otosten perusteella: Näytteestä kvantileja arvioidaan järjestetyllä otoksella. Yleisiä menetelmiä ovat arvo x_(k) joko k = ⌊p(n+1)⌋ tai lineaarinen interpolointi kahden vierekkäisen arvon välillä, jotta saadaan parempi tarkkuus pienissä otosmäärissä.

Käyttötarkoitukset: Kvantileja käytetään jakauman luonteen kuvaamiseen, kuvakaavioissa kuten boxplotissa, dataannotaatioissa, normalisointimenetelmissä sekä kvantileihin perustuvassa tilastollisessa päättelyssä ja regressioanalyysissä (esim. kvantile-regressio).