Kurvhet

Kurvhet er et mål på hvor raskt retningen til en kurve endrer seg når man beveger seg langs kurven. I matematikk beskriver kurvhet hvordan en kurve bøyes i planet eller i rommet. For en planar kurve gitt ved r(t) = (x(t), y(t)) er kurvheten κ(t) definert som κ(t) = |x'(t) y''(t) − y'(t) x''(t)| / (x'(t)² + y'(t)²)^(3/2). Når kurven parameteriseres med arclengde s, blir κ = ||dT/ds||, der T er enhetstangenten til kurven. Radiussen av kurvaturen, R = 1/κ, betegner radiusen til den osculerende sirkel som best passer kurvens lokale form.

I rommet brukes κ til å beskrive rumlige kurver på samme måte, med κ(s) = ||dT/ds|| for en kurve r(s). Signert kurvhet kan brukes i planar geometri for å angi om kurven bøyes til venstre eller til høyre.

For overflater utvides begrepet til Gaussian kurvhet K og middelkurvhet H, som involverer de to hovedkurvaturene (principal curvatures). Gaussian kurvhet er produktet av hovedkurvaturene, mens middelkurvhet er gjennomsnittet av dem. Disse størrelsene er sentrale i differentialgeometri og har anvendelser innen design og analyse av overflater.

Anvendelser omfatter ingeniørfag, veibane- og baneutforming, datagrafikk og fysikk. Kurvhet gir en grunnleggende beskrivelse av hvordan lengdeforløpet til en kurve eller overflate avviker fra en rett linje.