Kulmakerroin

Kulmakerroin, eli gradient, on käsite analyyttisessä geometriassa, jolla kuvaillaan lineaarisen suhteen kaltevuutta. Se kertoo, kuinka paljon y-arvo muuttuu, kun x-Arvo muuttuu. Kulmakerroin m määritellään kahden pisteen avulla: m = Δy/Δx = (y2 − y1)/(x2 − x1), kun x2 ≠ x1. Jos lineaarinen funktio on y = mx + b, kulmakerroin on m.

Ominaisuuksia. Jos m > 0, käyrä nousee oikealle; jos m < 0, käyrä laskee oikealle; ja m = 0 tarkoittaa vaakasuuntaista viivaa. Pystysorvi, eli viiva x = a, antaa Δx = 0:n vuoksi määrittelemättömän kulmakerroin. Kulmakerroin on samalla lineaarisen funktion itsearvo; muuttamalla y-akselin mittasuhteita tai siirtämällä viivaa ei muuteta m:n arvoa.

Laskeminen. Kahdesta pisteestä (x1, y1) ja (x2, y2) lasketaan m kaavalla (y2 − y1)/(x2 − x1). Menetelmää voi käyttää myös muista muodoista: suoran yhtälöstä ax + by + c = 0 kulmakerroin on −a/b (kun b ≠ 0). Yhtälöstä y = mx + b kulmakerroin on suoraan m, ja y-akselin leikkauspiste b on y-arvo, kun x = 0.

Suhde kulmaan. Kulmakerroin m vastaa kulmaa θ: m = tan θ, jossa θ on ideaalin positiivisen x-akselin ja viivan välillä oleva kulma. Derivaatta f′(x0) antaa tangenttiviivan kulmakertoimen pisteessä x0, mikä laajentaa käsitteen koskemaan ei-vain suoria vaan myös käyrien jäännöksiä.

Esimerkkejä. Viiva lähellä pisteistä (1,2) ja (3,6) saa m = (6−2)/(3−1) = 2. Yhtälöstä y = 3x + 1 saadaan m = 3. Viiva y = 5 on m = 0, ja viiva x = 7 on määrittelemättömän kulmakerroin.