Kubehjørnegeometrien

Kubehjørnegeometrien er betegnelsen for geometrien omkring kubehjørnet, altså det punkt hvor de tre flader mødes. Den fokuserer på trihedral vinklen dannet af de tre vinkelrette flader og på de geometriske objekter, der optræder i dette lokale område omkring hjørnet, såsom linjer, planer og kurver, der ligger nær hjørnet.

Set i koordinater kan kubehjørnet beskrives ved en enhedskubé med hjørnet i origo og kanter langs de positive x-, y- og z-akse. De tre flader møder i hjørnet og danner hver af dihedrale vinkler 90 grader. Inde i kuben udgør nærheden af hjørnet regionen x ≥ 0, y ≥ 0 og z ≥ 0 begrænset af x ≤ 1, y ≤ 1 og z ≤ 1. De tre kanter, der mødes i hjørnet, giver en naturlig basis til at beskrive retninger og afstande i det omkringliggende rum.

Kubes lokale symmetri omkring et hjørne kan beskrives gennem kubens overordnede symmetri, som blandt andet inkluderer permutationer af de tre kanter, og i udvidet form også spejlinger. Den støtter forståelsen af, hvordan hjørnet opfører sig under rotationer og spejlinger, og hvordan alle otte hjørner er sammenlignelige gennem kubens globale symmetri.

Relation til anvendelser og tilhørende emner: kubehjørnegeometrien spiller en rolle i computergrafik og meshgenerering omkring vertexer, i krystallografi og i studier af geometri nær kanter og hjørner. En relateret observation er, at på enhedssfæren danner det omkring hjørnet en spherical trekant med alle vinkler 90 grader, hvilket har arealet π/2.