Kompaktiuden

Kompaktiuden määritelmä: Tila X on kompakti, jos jokainen X:ää kattava avoverkko {U_i} koostuu avoimista joukoista ja on olemassa sellaiset U_{i_1}, ..., U_{i_n}, että X = U_{i_1} ∪ ... ∪ U_{i_n}. Toisin sanoen tilalla on aina virittävä, rajoitettu subkattavuus avointen kattauksien kautta.

Aiemmat kuvaus ja vaihtoehtoiset karakterisaatiot: Metriikkitiloissa kompaktius toteutuu myös sekventiaalisen kompaktiuden kautta: jokainen X:stä johdettu jono sillä on konvergoituva alijono, jonka raja kuuluu X:ään. Lisäksi metrikkitiloissa kompaktius on yhtäpitävä täydellisyyden ja täysin rajatun ominaisuuden yhdistelmälle: X on täydellinen ja täysin rajattu, jos ja vain jos se on kompakti. Eräissä tärkeissä tiloissa, kuten R^n:ssä, Heine–Borel-laki sanoo, että kompaktius on sama kuin suljettu ja rajoitettu.

Esimerkit: Suljettu väli [0,1] on kompakti sekä R että R^n:n tapauksissa; avoin väli (0,1) ei ole kompakti. Ympyrä S^1 on kompakti, kun taas koko linja R on ei-kompakti. KaikkiFinite-setit ovat kompakti, ja kompaktius säilyy jatkuvan kuvan kautta: jos f on jatkuva ja K on kompakti, niin f(K) on kompakti. Myös sulkeutuva alaosa kompaktius säilyttää. Hausdorff-tiloissa kompakti joukko on suljettu.

Ominaisuudet ja konseptit: Jos X on kompakti ja A on sen suljettu ala-avaruus, niin A on kompakt. Moninaiset (perustajaiset) kompaktiusosat jne. Lyhyesti: kompaktius on tärkeä ominaisuus analyysissä ja topologiassa, sillä se takaa, että jatkuvat funktiot saavuttavat ääripisteensä ja jokaisesta sekvenssista voidaan valita konvergoiva alijono.

Local- ja käyttö: Paikallinen kompaktisuus tarkoittaa, että jokaisen pisteen läheisyydessä on kooltaan kompaktin sulkeuma.

Käytännön merkitys: Kompaktius on keskeinen väline eksistenssiin ja approksimaatioihin, erityisesti ääripisteiden löytymisessä ja jatkuvien kuvaajien ominaisuuksissa.