Kommutaatiojoukko

Kommutaatiojoukko on matemaattinen käsite, joka liittyy ryhmien teoriaan. Ryhmä on joukko, jossa on määritelty binäärinen operaatio, kuten yhteenlasku tai kertolasku, joka toteuttaa tietyt aksioomat. Kommutaatiojoukko kuvaa ryhmän alkioiden keskinäistä "kommutatiivisuutta", eli sitä, onko operaatio vaihdannainen tiettyjen alkioiden välillä.

Tarkemmin sanottuna, jos G on ryhmä ja sen operaatio on merkitty symbolilla *, ja a ja b ovat kaksi alkiota ryhmässä G, niin sanomme, että a ja b kommutoivat, jos a * b = b * a. Kommutaatiojoukko kaikista niistä ryhmän G alkioista x, jotka kommutoivat tietyn alkion g kanssa, on joukko {x ∈ G | g * x = x * g}. Tätä joukkoa kutsutaan joskus g:n normalisoijaksi, vaikka normalisoija on yleisempi käsite ja sisältää kaikki alkiot, jotka kommutoivat _kaikkien_ g:n muodostaman syklin kanssa.

Jos ryhmän kaikilla alkioilla on ominaisuus, että ne kommutoivat keskenään, eli a * b = b * a kaikille a, b ryhmässä G, niin ryhmää G kutsutaan Abelin ryhmäksi eli kommutatiiviseksi ryhmäksi. Tällöin jokaisen alkion kommutaatiojoukko on koko ryhmä G itse. Kommutaatiojoukon käsite on hyödyllinen ryhmien rakenteen tutkimisessa ja niiden ominaisuuksien ymmärtämisessä.