Kombinasyon

Kombinasyon, matematikte bir kümenin n elemanından, sırası önemli olmadan k elemanın seçilme sayısını ifade eder. Bu terim, n elemandan oluşan bir kümeden k elemanı herhangi bir sıraya göre değil, yalnızca hangi elemanların seçildiği olarak saymaya yöneliktir. Sıklıkla C(n, k) veya nCk ile gösterilir. k > n olduğunda kombinasyon sayısı sıfırdır.

Kombinasyonun temel formülü, n elemanlı bir kümeden k eleman seçmenin sayısı olarak n! / (k! (n − k)!). Burada faktöriyeller sayıları ifade eder ve n, k sıfır veya pozitif bir tam sayı olduğunda geçerlidir. Ayrıca C(n, k) = C(n, n − k) özelliğiyle simetriktir; yani k elemanlı alt kümelerin sayısı, n − k elemanlı alt kümelerin sayısına eşittir. Pascal üçgeni veya rekürans ilişkisiyle de hesaplanabilir: C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). Tüm olası alt kümelerin sayısının toplamı 2^n’dir.

Genelleştirmeler olarak tekrarlayan kombinasyonlar (multiset kombinasyonları) vardır; n türden k eleman seçmenin tekrarlı olduğu durumlarda sayılar C(n + k − 1, k) ile verilir. Ayrıca binom teoremiyle (x + y)^n = sum_k C(n, k) x^k y^(n − k) ifadesi bağlıdır.

Kullanım alanları arasında olasılık, istatistik, sayım problemleri ve kombinatorik hesaplar bulunur. Örneğin, bir kümeden iki eleman seçmenin kombinasyon sayısı 6’dır: AB, AC, AD, BC, BD, CD (sıra önemli değildir).