Kerroinmatriisi

Kerroinmatriisi on lineaarisen yhtälöryhmän muuttujien kertoimia sisältävä matriisi. Jos järjestelmässä on m yhtälöä ja n muuttujaa, kirjoitetaan A x = b, missä A on m×n-kerroinmatriisi, x on ratkaistava vektori (x1, ..., xn)^T ja b on oikean puolen vektori (b1, ..., bm)^T. Kerroinmatriisi koostuu yksittäisistä kertoimista aij, jotka sijaitsevat rivillä i ja sarakkeessa j. Lisäksi kokonaisuuteen liittyy usein augmented matrix [A|b], joka sisältää vasemman osan A ja oikeanpuolen vektorin b.

Rivit vastaavat yhtälöitä ja sarakkeet vastaavat muuttujia. Jokainen aij kertoo, kuinka paljon muuttuja xj vaikuttaa i:teen yhtälöön. Yhtälön oikea puoli b tallennetaan erikseen, ja yhdessä A ja b muodostavat augmented matrix [A|b].

Ratkaisut riippuvat A:n ominaisuuksista. Jos A on neliö ja det(A) ≠ 0, järjestelmällä on yksikäsitteinen ratkaisu x = A^{-1} b. Käytännössä ratkaisut lasketaan esimerkiksi gaussin eliminoinnilla tai hajotelmilla kuten LU-, QR- tai Cholesky-hajotelmien avulla. Jos A ei ole kääntyvä, ratkaisuja voi olla ei-olemassa tai useita, ja ratkaisun olemassaolo määräytyy rank(A) ja rank([A|b]).

Ominaisuudet ja sovellukset: Kerroinmatriisi määrittää, miten muuttujat vaikuttavat yhteen lineaarisessa mallissa, ja sen koko sekä rank vaikuttavat siihen, millainen ratkaisu on mahdollinen sekä miten laskenta käytännössä suoritetaan. Sitä käytetään laajasti lineaarisessa algebraan, tilastollisiin malleihin sekä insinööri- ja luonnontieteellisiin sovelluksiin.