Kartiokoordinaatit

Kartiokoordinaatit, eller koniska koordinater, er en koordinatsystem som brukes til å parameterisere punkter på en konisk flate. Systemet består av to koordinater: en avstand langs konens generatrix (den rette linjen som er likt fordelt mellom apex og kant), og en vinkel rundt konens akse. Dette gjør det naturlig å beskrive geometri og fysiske størrelser på koniske overflater og deler.

Definisjon og kartlegging. For en rettvinklet kjevet konus med spissvinkel alpha, og med spissen i origo og akse langs positv z-retning, kan et punkt på konen beskrives med koordinatene (s, theta). Her er s avstanden fra spissen langs generatrixen til punktet, og theta er azimuthalvinkelen rundt aksen. Da blir den kartesiske tilnærmingen x = s sin(alpha) cos(theta), y = s sin(alpha) sin(theta), z = s cos(alpha). Velges s = 0 ved spissen, og s øker langs konen mot basen, dekker koordinatsystemet hele konen. Forholdet mellom s og z er z = s cos(alpha) og r = sqrt(x^2 + y^2) = s sin(alpha), noe som gir r = z tan(alpha).

Egenskaper og anvendelser. Kartiokoordinaater er spesielt nyttige for problemstillinger med konisk symmetri, som varmeledning eller mekaniske spenninger i koniske skall, og i datagrafikk for teksturapping på koniske overflater. De tilbyr en enkel separasjon av bevegelse langs generatrix og rundt aksen, noe som forenkler beregninger av geometri og integraler på koniskeflater. Ved å utvikle konen til en sirkelsektor blir det også mulig å få en sirkulær disk som et flatt utstrekningstilfelle i plan.

Variant og utfordringer. Som med mange koordinatsystemer møter man ofte singulærpunkter ved konens spiss, der koordinatene ikke er entydige. Effektive koniske koordinater avhenger av konens vinkel og kan implementeres i numeriske metoder og grafiske applikasjoner for å oppnå stabilitet og presisjon. See also: koniske koordinater, cilindriske koordinater, sfæriske koordinater.