JSJdekompositioner

JSJ-dekomposisjon, eller JSJ-decomposition, er et sentralt begrep i 3-manifold-topologi. Den beskriver hvordan en komprimérbar, kompakt, orienterbar 3-manifold kan deles opp langs en familie av inneksistent embedded tori i enklere delar, på en måte som er canonical i snittet. Formålet er å få fram byggesteinene som man kan forstå i lys av geometriske strukturer.

Resultatet er en dekomponeringsgraf av 3-manifolden i deler som hver enten er Seifert-fiberet eller atoroidal. Seifert-fiberte deler har en definert Seifert-fiber-struktur, mens atoroidale deler er deler som ikke inneholder utilstrekkelige tori og som, i samsvar med geometriteorien, bærer en hyperbolisk struktur av endelig volums. Med forhold til manifolder med grense, brukes tilsvarende tori og annuli for å oppnå en fullstendig dekomposisjon.

Egenskapen som gjør JSJ-dekomposisjonen spesielt viktig, er dens unike natur: oppdelingen er opp til isotopi av tori og omorganisering ganske gitt. Den gir også en graf av grupper-struktur for fundamentalgruppen til manifolden, der vertex-gruppene svarer til de enkelte bitene og kantene til tori-dekomposisjonen.

Historisk bakgrunn: de to uavhengige bevisene ble oppnådd av Jaco og Shalen samt av Johannson i slutten av 1970-tallet. Begrepet JSJ-dekomposisjon er derfor etablert som en standard del av 3-manifold-teori og fungerer som en nøkkelbyggestein i forbindelsen mellom Haken-manifolds og geometrisk topologi i kjølvannet av Thurston og Geometrization-teoremet.