Iteratsioonidega

Iteratsioonidega viitab matemaatikas ja arvutiteaduses lahenduste leidmisele meetoditele, mille käigus jõutakse järkjärglike lähenduste teel soovitud väärtuseni. Sellised meetodid kasutavad korduvat uuendamist ja lihtsat reegli rakendamist, mille tulemuseks tekib järjestus, mis võib konvergeeruda otsitavale väärtusele.

Tavaliselt alustatakse algväärtusest x0 ning iga sammuga arvutatakse uus lähend x_{n+1} vastavalt reeglile x_{n+1} = φ(x_n) või sarnasele definitsioonile. Kui erinevus |x_{n+1} - x_n| või residuum |f(x_n)| on väiksem tolerantsiga, peetakse lahendust leitud.

Populaarsed iteratsioonimeetodid on: fikseeritud punkti iteratsioon, kus lahendus leitakse kui fikseeritud punkt x = g(x) ja xn+1 = g(x_n); Newtoni meetod, kus x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n); gradiendi langetamise meetod optimeerimisel, kus x_{n+1} = x_n - α ∇f(x_n).

Olulised omadused on konvergeerumine ja konvergentsikiirus. Kui xn konvergeerub, xn → x*, loetakse lahendus leitud. Konvergentsikiirus võib olla lineaarne, superlineaarne või kvadriline, olenevalt meetodist ja funktsiooni omadustest. Algväärtus, funktsiooni käitumine ja olemasolevad derivaadid mõjutavad edu ning mõnikord on vaja alternatiivset meetodit või sobivat sammupikkust otsida.

Iteratsioonidega on oluline vahend nii numbrilises lahendamises kui ka optimeerimises, simulatsioonides ja arvutusfüüsikas. Need meetodid annavad sageli esimesed lähendused keerukatele probleemidele ning neid täiustatakse kiirenduste ja järjepidevate lähenemiste abil.