Invertálhatók

Invertálhatók olyan objektumok vagy struktúrák, amelyek adott művelet vagy kategória kontextusában rendelkeznek fordított lépéssel vagy inversz szemlélettel. A fogalomhez több különböző konkrét jellegzetesség kapcsolódik: lehet eleme egy gyűrűnek, egy vektortér lineáris leképezése, egy függvény, vagy egy morfizmus a kategóriában. Az invertibilitás azt jelenti, hogy létezik egy fordított objektum vagy morfizmus, amely az eredetit visszafordítja a kiindulási állapotba.

A lineár algebra keretében egy négyzetes mátrix A invertálható, ha det(A) ≠ 0. Ilyenkor létezik A^{-1}, amely kielégíti az A A^{-1} = A^{-1} A = I_n összefüggést. Ekvivalensen: A rendezett rendszer Ax = 0 csak a triviális megoldást adja, vagy az oszlopok bázist alkotnak a térben. Invertibilis esetben a lineáris leképezés T(x) = Ax izomorfizmus, tehát valódi visszafordítás érhető el.

Közvetlenül a gyűrűelméletben egy elem a invertibilis, ha létezik olyan b elem, hogy ab = ba = 1_R. Ezeket egységeknek vagy Units-eknek nevezik, és az összes invertibilis elemek csoportot alkotnak, a gyűrű egységcsoportját képezve.

Kategóriaelméletben egy aránynak vagy morfizmusnak invertibilisnek kell lennie ahhoz, hogy izomorfizmus legyen: létezik olyan vitathatatlan fordított morfizmus g, amely gf = id_X és fg = id_Y.

Például a kötött szimmetrikus mátrixok vagy a bijektív függvények invertibilitása bizonyítja a visszafordíthatóságot a gyakorlatban.