Interpolatsioonpolünoom

Interpolatsioonpolünoom

Interpolatsioonpolünoom on polünoom, mis läbib etteantud punktihulga. Teisisõnu, kui meil on n+1 paari andmepunkte (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn), siis interpolatsioonpolünoom P(x) rahuldab tingimust P(xi) = yi iga i = 0, 1, ..., n jaoks.

Lagrange'i interpolatsioon on üks levinumaid meetodeid interpolatsioonpolünoomi leidmiseks. Lagrange'i interpolatsioonpolünoom on antud kujul:

P(x) = sum_{i=0}^{n} y_i * L_i(x)

kus L_i(x) on Lagrange'i basaasi polünoomid, mis on defineeritud kui:

L_i(x) = prod_{j=0, j!=i}^{n} (x - x_j) / (x_i - x_j)

Teine levinud meetod on Newtoni interpolatsioon, mis võimaldab polünoomi konstruktiivsemat ehitamist ja uuendamist uute punktide lisamisel. Newtoni interpolatsioonpolünoom kasutab etteantud punktide erinevusi.

Interpolatsioonpolünoomi kasutatakse laialdaselt funktsioonide aproksimeerimisel, numbrilises analüüsis ja andmete interpoleerimisel. On oluline märkida, et interpolatsioonpolünoom võib läbib etteantud punktid täpselt, kuid see ei pruugi anda head hinnangut punktide vahel, eriti kui funktsioon on olemuselt ebapiisavalt sile või kui punktide arv on suur. Sellistel juhtudel võivad teised meetodid, nagu tükkhaaval interpolatsioon (spline interpolatsioon), anda paremaid tulemusi. Interpolatsioonpolünoomi unikaalsus on tagatud, kui punktide x-koordinaadid on kõik erinevad.