Integrális

Integrális vagy integrálás a matematikában az analízis egyik alapfogalma. Egy függvény által meghatározott mennyiség leírására szolgál, például a görbe alatti terület kiszámításával; általánosabban pedig a függvények mértékfelhalmozódásának leírására használható.

Két fő típusa van: a határozatlan integrál és a határozott integrál. A határozatlan integrál egy primitív függvényt ad meg: ∫ f(x) dx = F(x) + C, ahol F' = f. A határozott integrál ∫_a^b f(x) dx a görbe és az x-tengely által befoglalt teret adja meg.

A Riemann-integrál a legismertebb meghatározás: a teret Riemann-pontokban vett összegzések határértékeként értelmezzük; minden folytonos függvény a zárt intervallumon Riemann-integrálható. A fundamentális tétel összekapcsolja a differenciálást és az integrálást: ha F' = f, akkor ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).

Létezik pedig általánosabb keret, például a Lebesgue-integrál, amely bizonyos, a Riemann-integrál alatt nem értelmezett függvények integrálását is lehetővé teszi. A klasszikus numerikus módszerek közé tartozik a trapezium-, a Simpson-módszer és az adaptív eljárások.

Alkalmazások széles köre közé tartozik a terület, hossz, térfogat, tömeg, energia mérés, illetve valószínűség-eloszlások és sok más terület. A fogalom a 17. században Newton és Leibniz nevéhez fűződik, és azóta alapvető eszköze a matematika elméleti és alkalmazott területeinek.