Integraalifunktsioon

Integraalifunktio, tunnettu myös nimellä antiderivaatta, on käänteisfunktio derivoimiselle. Jos funktio F(x) on funktion f(x) integraalifunktio, niin F'(x) = f(x). Toisin sanoen, integraalifunktion derivaatta on alkuperäinen funktio. Integraalifunktion olemassaolo liittyy läheisesti analyysin peruslauseeseen, joka yhdistää määräämättömän integraalin ja määrätyn integraalin.

Määräämättömälle integraalille, joka merkitään symbolilla ∫ f(x) dx, pätee, että se edustaa kaikkia funktion f(x) integraalifunktioita. Koska funktion derivaatta voi olla vakio, integraalifunktio ei ole yksikäsitteinen, vaan se sisältää aina mielivaltaisen vakion C. Tätä kutsutaan integroimisvakioksi. Siis, jos F(x) on yksi funktion f(x) integraalifunktio, niin kaikki sen integraalifunktiot voidaan esittää muodossa F(x) + C, missä C on reaaliluku.

Määrätty integraali, joka merkitään ∫[a,b] f(x) dx, lasketaan käyttämällä integraalifunktiota. Analyysin peruslauseen mukaan, jos F(x) on funktion f(x) integraalifunktio, niin ∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a). Määrätty integraali edustaa yleensä pinta-alaa funktion kuvaajan ja x-akselin välissä tietyllä välillä. Integraalifunktioiden löytäminen on keskeinen osa monia matematiikan, fysiikan ja insinööritieteiden sovelluksia.