Homomorfismeihin

Homomorfismeihin liittyy matematiikan perusidea: kartoitukset, jotka säilyttävät rakenteen operaatioita. A ja B ovat algebrallisia rakenteita (kuten ryhmiä, renkaat, moduulit tai vektoritilat), ja f: A → B on homomorfismi, jos se kunnioittaa rakenteen määrittelevän binäärisen operaation. Esimerkiksi ryhmäryhmässä (G, *) kartoitus f on ryhmähomomorfismi, jos f(x * y) = f(x) * f(y) kaikille x, y ∈ G. Renkaiden kohdalla vaaditaan sekä lisäyksen että kertolaskun säilymistä: f(x + y) = f(x) + f(y) ja f(xy) = f(x) f(y). Vektoritiloissa homomorfismi on usein sanottu lineaariseksi mapiksi, joka säilyttää sekä yhteenlaskun että skalaari-kertolaskun.

Kerneli ja kuva ovat keskeisiä käsitteitä. Kernel f on joukko kaikkien alkioiden x ∈ A, joille f(x) on identiteetti B:ssä. Kuvan Im f on A:n alirakenteen kuva B:stä; se on kaikkien f(n) muodostama joukko. Näiden avulla voidaan lausua teoreemoja, kuten ensimmäinen kertolaskuteoreema: A / ker f ≅ Im f, eli A:n jaottelusta ker f avulla saadaan rakenteeltaan vastaava jaollinen kokonaisuus Im f:sta.

Erottuvat tyypit kuten injektio, surjektio, bijektio sekä endomorfismi (samassa rakenteessa elänyt) ja automorfismi (bijektiivinen endomorfismi) ovat tärkeitä luokituksia. Homomorfismeja tarkastellaan myös kategoriateoreettisesti, missä ne ovat rakenteellisia morfismeja, jotka kuvaavat, miten erilaiset algebralliset olennot voivat verrata toisiinsa säilyttäen niiden operationaaliset säännöt.