Hilbertrummet

Hilbertrummet er en matematisk struktur inden for funktionel analyse. Det defineres som et vektorrum H over felterne R eller C udstyret med et indreprodukt <x, y>, som gør rummet til et normeret rum med normen ||x|| = sqrt(<x, x>). Indreproduktet opfylder hermitian symmetri og positiv definithed og er normalt lineært i den første argument og konjugat-lineært i det andet. Rummet er komplet, hvilket betyder, at hver Cauchy-sekvens konvergerer i H. Denne kombination af struktur gør Hilbertrummet velegnet til at gøre geometri og analyse i uendelig dimension mere håndgribelige.

Eksempler inkluderer det n-dimensionelle rum R^n med standardindreproduktet, L^2-rummet af kvadratsummerbare funktioner på et måleområde med <f,g> = ∫ f overline{g}, og l^2-rummet af alle følgevektorer. Et rum er separabelt hvis det har en tælleligt tællelsesbart ortonormalbasis; ethvert separabelt Hilbertrum er isomorft med l^2.

Nøglebegreber omfatter ortonormalbasis, projektioner og dekompositioner: ethvert element kan skrives som en konvergent series i forhold til en ortonormalbasis (Parsevals identitet). Projektionsteoremet sikrer eksistensen og entydigheden af den bedste approksimation til en lukket underrum. Riesz repræsentationsteorem fastslår, at enhver kontinuerlig lineær funktion på H kan skrives som en indreprodukt med et bestemt vektor i H. Spektralteorien for selvadjoint- og normale operatorer giver en delforståelse af operatorers spectra og funktionelle beregninger.

Hilbertrummet spiller en central rolle i mange områder af matematik og anvendes også i kvantemekanik, signalbehandling og Fourieranalyse.