Hausdorffdimenziót

A Hausdorff-dimenzió (dim_H) egy olyan mérték- és dimenziófogalom a geometriai mértékek között, amely a metrikus terek halmazaira alkalmazható. Az s≥0 paraméterhez társított s-dik Hausdorff-mérték H^s(E) a δ-vidám fedések alapján van definiálva: H^s(E) = lim_{δ→0} inf sum diam(U_i)^s, ahol {U_i} olyan fedés, amelynek max diam(U_i) < δ. A legnagyobb s alapján a halmaz dimenzióját úgy határozzuk meg, hogy dim_H(E) = inf{ s≥0 : H^s(E)=0 } = sup{ s≥0 : H^s(E)=∞ }. A gyakorlati értéket gyakran úgy értelmezzük, hogy a H^s(E) a dim_H(E) alatt végtelen lehet, a dim_H(E) fölött pedig nullává válik, és az s=dim_H(E) környékén gyakran pozitív és véges érték adódik.

A dim_H E a klasszikus dimenziók általánítása: lehet egész vagy nem egészen, sőt irracionális érték is. A dim_H kompatibilis a bi-Lipschitz leképezésekkel, vagyis bi-Lipschitz-szerű átalakítások alatt invariáns. Ennek köszönhetően a dim_H-ot nem befolyásolja a halmaz helyi elhelyezkedése, csak a szerkezetét méri.

Jellemző példák: egy megszámolható halmaz dim_H = 0, míg a zárt egységható intervallumok dim_H = 1. A Cantor-készlet dim_H = log 2 / log 3 ≈ 0,6309; a Sierpiński-triangelé pedig dim_H = log 3 / log 2 ≈ 1,585. A Hausdorff-mértékek lehetnek végesek és pozitívak az adott dimenzióban, és a fogalom szorosan kapcsolódik a fractál-geometriához.

Használata kiterjed a fractál-geometriában, a dinamikai rendszerekben és a geometriai mértékelméletben, ahol bonyolult, nem egész számú szerkezetek jellemzésére szolgál.