Hatványozás

Hatványozás (hatványozási művelet) olyan matematikai művelet, amelynek formája a^b, ahol a az alap és b a kitevő. Az egész kitevő esetén a hatvány értelmezése ismételt szorzásként adódik: a^n = a × a × ... × a (n-szer), n pozitív egész. Ha n = 0, akkor a^0 = 1 (a ≠ 0). Ha n < 0, akkor a^(-n) = 1 / a^n, feltéve hogy a ≠ 0.

Valós kitevő esetén, ha a > 0, akkor a^b definíciója e^{b ln a}-val adható meg, ami lehetővé teszi, hogy b tetszőleges valós szám legyen. Ezzel a definícióval a függvény a pozitív alap esetén folytonos és megfelelően értelmezett.

0^b: 0-ra pozitív kitevő esetén 0; 0^b negatív kitevőnél nem értelmezett; 0^0 általában nem definiált, bár bizonyos kontextusokban 1-nek tekintik.

Racionális kitevők esetén: a^(m/n) = n-edik gyöke a^m. A valós számok körében ez reális eredményt ad csak akkor, ha a ≥ 0 (különösen, ha n páros); más esetekben értelmezhető komplex számként.

Fontos azonosságok: a^m · a^n = a^(m+n); (a^m)^n = a^(mn); (ab)^n = a^n b^n (n egész). Alapérték: a^0 = 1 (a ≠ 0).

Kapcsolat a logaritmussal: ha a > 0, akkor a^b = e^{b ln a}. A hatványozás alapvető eszköz a matematikában és a tudományokban, például növekedési és skálázási jelenségek leírásában, illetve pénzügyi számításokban.

---