Hamiltoniandensiteter

Hamiltoniandensitet er en funktion i feltteori, der beskriver energitætheden til et felt som funktion af feltet, dets tidsafledninger og dets rumlige afledninger. Den udgør kernen i Hamiltons formalisme, hvor energien beskrives som en lokal densitet og kan integreres over rum for at give den totale energi.

Formelt er Hamiltoniandensitet ℋ udtrykt som Legendre-transformen af Lagrangianet L. Hvis π(x) betegner den kanoniske momentumdensitet, defineres den som π = ∂L/∂(∂tφ). Herefter er ℋ(φ, π, ∂iφ, x) = π φ̇ − L, og den totale energi er H = ∫ d^3x ℋ. Hamiltons ligninger giver feltets evolution: φ̇ = δH/δπ og π̇ = −δH/δφ.

Et almindeligt eksempel er et realt scalarfelt med Lagrangianet L = 1/2 ∂μφ ∂^μφ − V(φ). Her er π = ∂t φ, og Hamiltoniandensiteten bliver ℋ = 1/2 π^2 + 1/2 (∇φ)^2 + V(φ). Den totale energi er dermed H = ∫ d^3x [½(∂tφ)^2 + ½(∇φ)^2 + V(φ)]. I kvantefeltteori opreges felten og π som operatorer, og ℋ optræder som energiodensitet i Hamiltonianen H = ∫ d^3x ℋ.

Bemærk, at forholdet mellem ℋ og energien kan være mere komplekst i generel relativitet eller i teorier med gauge-symmetrier, hvor Hamiltoniansstrukturen indebærer konstanter og begrænsningsbidrag. Ikke desto mindre giver Hamiltoniandensiteten en lokal beskrivelse af energien i feltet og er central i både klassisk og kvantefeltteori.