Halmazoknál

Halmazoknál a halmaz fogalma a matematika egyik alapvető eszköze. Egy halmaz olyan egyértelműen meghatározott objektumokból álló gyűjtemény, amelynek elemei belépéséről eldönthető, hogy benne vannak-e vagy sem. Az ismétlődés nem számít: egy halmaz elemei egyediek. Példák: {1, 2, 3}, {a, b, c}, vagy A = {x ∈ N | x < 5}. A halmazok lehetnek végesek vagy végtelenek, és gyakran jelöljük őket betűkkel, például A, B, C.

Részhalmazok és halmazműveletek. Ha minden eleme az A- nak benne van B-ben, akkor A ⊆ B. Az unió (A ∪ B) az összes elem összegyűjtése, a metszet (A ∩ B) azokat az elemeket adja, amelyek mindkét halmazban benne vannak. A különbség A \ B az elemek azok, amelyek A-ban vannak, de B-ben nem. A^c a komplementum, azaz az A-n kívüli elemek halmaza a jól definiált univerzális halmaz alapján. De Morgan törvények és más alapelvek írják le ezek kapcsolatát.

Kardinalitás és hatalomhalmaz. |A| jelöli a halmaz elemeinek számát; véges halmazok esetén ez természetes szám. A hatalomhalmaz vagy hatalomhalmaz P(A) minden alhalmazát tartalmazza, és |P(A)| = 2^{|A|}. Végtelen halmazoknál a kardinalitások mélyebb kérdésekhez vezethetnek.

Alkalmazások. A halmazok és a halmazelmélet alapvető eszközök a logikában, adatbázis-kezelésben, programozásban és a matematikai bizonyításban. Gyakorlati példák közé tartozik a relációk és függvények értelmezése, illetve halmazokkal történő bizonyítási lépések felépítése.