Halmazelméletben

A halmazelmélet a matematikai logika egyik alapvető ága, amely a halmazokkal és azok közti viszonyokkal foglalkozik. Célja, hogy formalizált keretben leírja a matematikai alapfogalmait, definiálja a tagságot, az alhalmazokat és a halmazműveleteket, valamint megvizsgálja, hogyan rendezhetők összegyűjthető és nem összegyűjthető halmazok.

Eredete és fejlődése: a 19. és 20. századi munka eredményezi az axiomatikus megközelítést. A legtöbb mai elmélet Zermelo–Fraenkel axiomszettet (ZF) és a választás axiómáját (AC) tartalmazó ZFC formájában rögzíti.

Központi fogalmak: halmaz, elem, alhalmaz, unió, metszet, hatványhalmaz. Kapcsolatok és függvények, relációk. Kardinalitás, végtelen halmazok, aleph-null (ℵ0) és további alef-számok. A kontinuum-hypotézis (CH) és a CH függetlensége ZFC-től (Gödel és Cohen).

A halmazelmélet hozzájárul az általános matematika alapjainak megértéséhez és számos területen hasznos, például topológiában, algebrában, analízisben és logikában. Az ágai között megtalálható az axiomatikus halmazelmélet és a Descriptive Set Theory, amelyek különböző megközelítéseket és alkalmazásokat kínálnak.

---