Gammafunktsiooniga

Gammafunktsiooniga (Γ) on tegemist kompleksfunktsiooniga, mis laieneb faktoriaali mõistele mittetäisarvude ja komplekssete argumentide korral. For naturaalarvude n puhul kehtib Γ(n) = (n−1)!, seega n! = Γ(n+1).

Definitsioon ja põhivõrrandid: Γ(z) = ∫_0^∞ t^{z−1} e^{−t} dt, kui Re(z) > 0. See rahuldab rekursiooni Γ(z+1) = z Γ(z), mistõttu Γ(n) = (n−1)! igale positiivsele täisarvule. Funktsioon on meromorfne kogu keerukal tasandil, millel on lihtsad tipud z = 0, −1, −2, … (pole defineeritud lõpmatuses). Kõige olulisemad erijuhud on Γ(1/2) = √π.

Olulised identiteedid: Γ(z) Γ(1−z) = π / sin(π z) (refleksioonivalem). Seosed Beta-funktsiooniga: B(x,y) = Γ(x) Γ(y) / Γ(x+y). Kaasaegsed omadused hõlmavad Gauss'i mitmekordumist valemit: ∏_{k=0}^{m−1} Γ(z + k/m) = (2π)^{(m−1)/2} m^{1/2 − m z} Γ(m z). Stirling'iline lähend Γ(z) ~ √(2π) z^{z−1/2} e^{−z}, kui z → ∞ (real). Üldiselt Γ on meromorfne analüütiline tööriist, mis ühendab paljusid valdkondi.

Kasutusvaldkonnad: tõenäosusteooria ja statistika (gamma- ja χ²-jaotused), kombinatorika, analüüs ja arvutuslikud valdkonnad. Ajalugu: Gammafunktsiooni esitas Euler, omaduste täpsemad vormid ilmusid hiljem Legendre’i ja Weierstrass'i töös.