Funktioyhtälöt

Funktioyhtälöt ovat matemaattisia yhtälöitä, joissa tuntemattomia ovat funktiot ja joissa yhtälö liittyy funktion arvoihin eri pisteissä. Ne määrittelevät säännön, jonka toteuttava funktio on täytettävä määrittelyalueellaan. Yleensä kysymys on löytää kaikki funktiot, jotka toteuttavat annetun ehdon kaikkialla määrittelyalueellaan, esimerkiksi reaali- tai vektoriavaruuksilla.

Yleisiä esimerkkejä ovat Cauchyn yhtälö f(x+y) = f(x) + f(y) sekä eksponentiaalinen/muoto f(x+y) = f(x) f(y). Cauchyn tapauksessa reaalilukujen päällä jatkuvuus jossain pisteessä, mitattavuus tai rajoittuvuus mille tahansa välillä johtaa lineaarisiin ratkaisuun: f(x) = cx, missä c on vakio. Ilman näitä säännöllisyyksiä on olemassa lukuisia epäjohdonmukaisia ratkaisuja, jotka voidaan rakentaa valitsemalla Hamelin perusta.

Eksponentiaalisen muodon ratkaisu tapahtuu, kun f on määritelty R:llä ja riittävän säännöllinen; silloin ratkaisut ovat f(x) = e^{cx} (tai f ≡ 0). Eritoten erikoistapauksia löytyy domainin valinnan mukaan, esimerkiksi f: R_+ → R_+ antaa f(x) = x^c.

Muut funktioyhtälöt voivat liittyä esimerkiksi f(xy) = f(x) f(y) tai erilaisiin invarianseihin ja symmetrioihin. Ratkaisujen muodot riippuvat usein lisäehdoista, kuten jatkuvuudesta, mitattavuudesta tai rajoittuvuudesta.

Tutkimus funktioyhtälöistä kattaa moniulotteiset rakenteet ja sovellukset analyysissä, algebrassa sekä fysiikassa. Se on sekä teoreettinen että käytännön väline, kun pyritään ymmärtämään, miten funktiot käyttäytyvät määrittävin säännöin.