Fouriermuunnoksista

Fouriermuunnoksista viittaa yleisesti signaalien analysointiin siten, että ajallinen kuvaus muutetaan taajuusdominiin. Tekniikka kattaa kaksi päämuunnostapaa: jatkuvan Fouriermuunnoksen (continuous Fourier transform, CFT) ja diskreetin Fouriermuunnoksen (discrete Fourier transform, DFT). Fouriermuunnoksilla voidaan esittää signaali taajuuskomponenttien summana; idea juontaa Fourier-sarjoista.

Jatkuvan Fouriermuunnoksen määritelmä (ω-akselilla) on F(ω) = ∫_{-∞}^{∞} f(t) e^{-i ω t} dt, ja alkuperäinen f palautetaan F(ω) = (1/2π) ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^{i ω t} dω. Eri konventiot voivat käyttää taajuusmuunnoksia taajuudella ν = ω/(2π), jolloin kertaluvut ja kertakertoimet vaihtelevat kontekstin mukaan.

Diskreetti Fouriermuunnos soveltaa näytteistetulle signaalille x_n (0 ≤ n ≤ N−1): X_k = ∑_{n=0}^{N−1} x_n e^{-i 2π kn / N}, ja käänteinen muunnos x_n = (1/N) ∑_{k=0}^{N−1} X_k e^{i 2π kn / N}. Nopein laskentamenetelmä on Nopeampi Fouriermuunnos (FFT, Fast Fourier Transform), jonka avulla suurten N:n tapauksissa muunnokset ovat käytännössä reaaliaikaisia.

Ominaisuudet: Fouriermuunnokset ovat lineaarisia ja ne noudattavat aikasiirto- ja taajuussiirtotoimintoja sekä skalautuvuutta. Konvoluutio ja kertolaskenta hakemalla: F{f*g} = F{f} F{g} ja F{f·g} = F{f} * F{g}. Parsevalin teoreema kertoo, että signaalin energia on jakautunut tasaisesti muunnoksen kautta.

Käyttökohteita ovat signaalin ja kuvan suodatus, spektrianalyysi, kommunikaatiojärjestelmät sekä fysiikan ilmiöiden mallintaminen ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisut. Fouriermuunnokset muodostavat keskeisen työkalun taajuusdatan ja signaalin rakenteen ymmärtämisessä.