Faktorisér

Faktorisér refererer til processen med at udtrykke et tal eller et algebraisk udtryk som et produkt af mindre dele, kaldet faktorer. I praksis bruges faktorisering til at nedbryde objekter til byggesten, hvilket ofte gør det lettere at beregne eller analysere dem. Afhængigt af kontekst kan faktorisering betyde primfaktorisering af heltal eller faktorisering af polynomier i et givent felt.

Faktorisering af heltal: Ifølge den fundamentale aritmetik har hvert positivt heltal en unik primfaktorisering (op til rækkefølgen). Eksempel: 360 = 2^3 · 3^2 · 5. Praktiske metoder inkluderer simpel prøvedeling og mere avancerede algoritmer som Pollard’s rho og Pollard’s p−1, som hjælper med at finde ikke-trivielle faktorer. Store tal er beregningsmæssigt vanskelige at faktorisere, hvilket ligger til grund for visse kryptografiske systemer som RSA.

Faktorisering af polynomier: Over et felt (f.eks. de rationelle tal) kan et polynomium faktorisere til et produkt af irreducible polynomier. Eksempel: x^2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Over forskellige felter anvendes forskellige metoder; for polynomier over finite felter findes Berlekamp’s og Cantor–Zassenhaus-metoderne, mens mere generelle tilfælde kan håndteres ved lifting-teknikker og andre algoritmer. Faktorisering af polynomier er central i løsning af ligninger og i symbolsk beregning.

Anvendelserne af faktorisering spænder fra talteori og algebra til kryptografi, beregning og algebraisk optimering.