Expfunksjonen

Expfunksjonen, også kalt den eksponentielle funksjonen, er f(x) = e^x, der e er Eulers tall (ca. 2,71828). Domene er alle reelle tall og verdimengden er (0, ∞). Funksjonen er alltid positiv og vokser monotonisk, med en avledet som er lik funksjonen selv: f′(x) = e^x. Den oppfyller egenskapen e^{x+y} = e^x e^y og har verdien e^0 = 1. Inversen til exp er den naturlige logaritmen ln.

Expfunksjonen kan defineres på flere måter. Den kan beskrives som grensen e^x = lim_{n→∞} (1 + x/n)^n, eller som uendelig rekke e^x = ∑_{n=0}^∞ x^n / n!. Den naturlige base e gir også at ∫ e^x dx = e^x + C. I komplekse tall representerer exp(z) = e^z; den har perioditet langs imaginalaksen med periode 2πi, og gir blant annet Euler-identiteten e^{iπ} + 1 = 0, som knytter konstantene e, i, π, 1 og 0 sammen.

Bruksområder og betydning: Expfunksjonen brukes til å modellere vekst og avkastning i økonomi, løsninger av lineære differensialligninger y′ = ky, samt prosesser i fysikk og ingeniørfag. I sannsynlighet støtter den Poisson-prosessen og den eksponentialfordelte tidsintervallen mellom hendelser. Den spiller også en sentral rolle i transformasjoner som Laplace- og Fourier-transformer, der den gir grunnlaget for å beskrive vekselvirkninger i tid og frekvens.