Etäisyysmetriikalla

Etäisyysmetriikalla viitataan matemaattisessa kontekstissa siihen, miten etäisyyden kahden kohteen välillä mitataan. Mikä tahansa tällainen mitta voi määrittää tilan, jossa pisteet ovat, sekä niiden välisiä suhteita, kun se täyttää tietyn perusmallin. Yleisesti otetaan X sattumanvaraisena joukkona ja d: X×X → [0, ∞) on funktio, joka antaa etäisyyden kahden pisteen välillä.

Toimiakseen metrikkänä sen on täytettävä kolme perusominaisuutta: ei-negatiivisuus (d(x,y) ≥ 0, ja d(x,y) = 0 vain silloin, kun x = y), symmetrisyys (d(x,y) = d(y,x)) sekä kolmoissääntö, eli kolmois- epäyksikössä tapahtuva epätasapainoinen ominaisuus (d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)). Näin muodostuu metriikkainen tila (X, d), jossa etäisyys määrittelee konvergenssin, jatkuvuuden ja sulkeutuvien pallojen rakenteen.

Tunnettuja esimerkkejä ovat Euclidinen etäisyys, d(x,y) = sqrt(∑(xi−yi)²), sekä sen lisävariantit, kuten Manhattan- eli city-block-etäisyys d(x,y) = ∑|xi−yi|, Chebyshev-etäisyys max|xi−yi| ja Minkowskin etäisyys d_p(x,y) = (∑|xi−yi|^p)^(1/p). Eri etäisyysmittarit johtavat erilaisiin tilan ja kaukaisyyden tulkintoihin.

Etäisyysmetriikat liittyvät läheisesti topologiaan: ne määrittelevät avaruuteen syntyvän topologian open pallojen kautta ja vaikuttavat konvergenssiin sekä täydellisyyteen. Käytännössä etäisyysmetriikkaa valitessa huomioidaan sovelluksen luonne, korkea- tai matala ulottuvuus sekä herkkyys mittauksille, mikä voi muuttaa analyysin tuloksia ja päätöksiä.