Ekvivalentsusklass

Ekvivalentsusklass on komplektis S defineeritud jaetaktika alusel ekvivalentsusrelatsiooni ~ abil: iga elemendi a jaoks moodustub [a] ehk ekvivalentsusklass, mis sisaldab kõiki elemente, mis on a suhtes ~ ekvivalentsed. Ekvivalentsusklass on seega kumulatiivne kogum, mis kogub kokku kõik elemendid, mis on omavahel samastatud sama relatsiooni korral.

Määriteluseks võetakse [a] = { x in S | x ~ a }. Ekvivalentsusrelatsioon ~ peab olema refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne; need omadused tagavad, et [a] on tõepolnud lõplik või lõpmatu kogum ja et klassid lõikavad üksteist ainult ühiselt täpsel määral. Kui a ~ b, siis [a] = [b]. Kui elemendid ei ole omavahel ~-ekvivalentsed, ei kuulu nad sama ekvivalentsusklasse sellisel juhul, ja erinevad klassid on omavahel lõplikult eraldatud. Sideselt, S koosneb ekvivalentsusklasside kogumistest, mida tähistatakse S/~. Iga element s ∈ S kuulub täpselt ühte klassi [s].

Kasutatakse sageli lühendust [a] ning S/~ tähistab ekvivalentsusklassi kogumit ehk loetelu klassidest. Ekvivalentsusklasside idee võimaldab S-i jaotada sarnaste elementide rühmadeks ning kombineerida elemente, mis jagavad sama relatsiooniomadust. Näiteks mod-n kongruentsusrelatsioon a ~ b, kui a − b jagub n-ga, jagab täisarvud jääkide klassideks 0,1,...,n−1; iga klass vastab korrutamise ja väkkevalikute korral kindlale teematikale. Ekvivalentsusklasside kontseptsioon on laialdaselt kasutatav klassifikatsioonis, tihedas alusena algebral ja valdkondades, kus identiteet ja sarnasused on olulised.