Eksponenttifunktion

Eksponentfunksjonen f(x) = a^x er en matematisk funksjon som beskriver vekst eller nedgang når en konstant base a blir opphøyd i en variabel eksponent. For å være definert for alle reelle tall må a være positiv og ikke lik 1. Verdien av a^x kan også uttrykkes som e^{x ln a}, hvor ln er den naturlige logaritmen.

Domene og rekkevidde: Domene er alle reelle tall, og rekkevidden er (0, ∞). Avhengig av basen er funksjonen voksende når a > 1 og avtagende når 0 < a < 1. Den passerer gjennom punktet (0, 1) siden a^0 = 1, og den går mot 0 når x → -∞.

Differensial- og integralegenskaper: Derivert av f(x) = a^x er f'(x) = a^x ln a. For a = e får man den naturlige eksponentialfunksjonen f'(x) = e^x, som også er integralet ∫ a^x dx = a^x / ln a + C. Den naturlige eksponentialfunksjonen oppfyller ligningen y' = y og forekommer som løsning i mange differensialligninger.

Funksjonsegenskaper og invers: Eksponentialfunksjonen oppfyller f(x+y) = f(x) f(y). Den er invertbar på (0, ∞) med invers funksjon log_a(x). Den naturlige logaritmen log_e(x) er en vanlig spesiell logaritme.

Graf og anvendelser: Grafen er J-formet, passerer gjennom (0, 1) og har horisontalt asymptote y = 0 når x → -∞. Eksponentialfunksjonen brukes bredt i finans (rente og sammensatt rente), biologi og medisin (vekst og halvering), fysikk og kjemi (henfall og reaksjonsrater), samt i informatikks og demografiske beregninger.