Discontinuiti

Discontinuiti, lato italiano della parola discontinuities, si riferiscono ai punti in cui una funzione non è continua. In analisi reale, una funzione f definita in un dominio D è continua in un punto a se lim x→a di f(x) = f(a). Quando questa condizione è violata, si parla di una discontinuità in a. Le discontinuità possono essere distinte in diverse tipologie a seconda del comportamento dei limiti vicini a a.

Classi comuni

- Discontinuità rimovibile: esiste il limite di f(x) per x che tends to a, ed è finito; se f(a) è indefinito o diverso dal limite, la funzione può essere resa continua ridefinendo f(a).

- Discontinuità di salto: i limiti laterali esistono ed sono finiti, ma sono diversi tra loro. Il valore della funzione nel punto non coincide con un “salto” tra i lati.

- Discontinuità infinita o di tipo essenziale (secondo tipo): uno o entrambi i limiti laterali non esistono perché la funzione diverge a infinità o oscilla senza stabilire limiti chiari. In casi estremi, può verificarsi anche una discrepanza tra i limiti laterali ma non esiste un valore limite definibile.

Esempi tipici includono la funzione di Heaviside (salto a 0), f(x) = sin(1/x) (discontinuità essenziale a 0), e f(x) = (sin x)/x al punto 0 (discontinuità rimovibile poiché il limite è 1). Le discontinuità hanno importanza in integrazione, teoria della misura e analisi complessa, dove si guardano proprietà come la densità, la natura dei limiti e la possibilità di definire funzioni continue tramite definizioni alternative.