Dihedralgruppene

Dihedralgruppene, eller dihedrale grupper, er symmetrigruppene til regulære polygoner i planet. For hvert heltall n ≥ 3 består dihedralgruppen D_n av alle rotasjoner og speilrefleksjoner som permuterer et regulært n-gon. Gruppen har orden 2n (n rotasjoner og n refleksjoner). I noen kilder betegnes D_n som orden 2n, mens andre bruker D_{2n}; konvensjonen bør oppgis ved første bruk.

Presentasjon og struktur: D_n kan beskrives som ⟨ r, s | r^n = e, s^2 = e, s r s = r^{-1} ⟩. Den er isomorf til semidirekte produkt C_n ⋊ C_2 der C_2-aksjonen på C_n er inversion. Rotasjonsundergruppen ⟨r⟩ er normal og har orden n; hvert element kan skrives som r^k eller r^k s.

Klasser og undergrupper: For n odd finnes en refleksjonsklasse; for n even deles refleksjonene i to klasser. Sentralt er at Z(D_n) er {e} når n er odd, og {e, r^{n/2}} når n er even. For hver divisor d av n finnes en dihedrale undergruppe ⟨r^{n/d}, s⟩ med orden 2d (og dermed også en undergruppe som er isomorf til D_d).

Eksempel og anvendelser: D_3 har orden 6 og er isomorf med S_3; D_4 har orden 8 og er symmetri­gruppen til en firkant. Dihedralgruppene brukes i geometrisk symmetri, kjemi (molekylers form og orientering), robotikk og datagrafikk, samt som grunnleggende eksempler i studie av gruppebygging og semidirekte produkter.