Differenciálegyenletekben

Differenciálegyenletekben olyan kapcsolatok vizsgálhatók, amelyek a függvények és deriváltjaik között írnak le függéseket. Ezekkel modellezhetők dinamikus folyamatok a fizikában, mérnöki tudományokban, biológiában és gazdaságtanban. A differenciálegyenletek lehetnek ordináris differenciálegyenletek (ODE-k) vagy parciális differenciálegyenletek (PDE-k). ODE-k esetén egy független változó van jelen, PDE-knél több független változó szerepel.

Az ODE-k rend szerint meghatározzák az ismeretlen függvényt. PDE-knél a megoldandó függvény több változóra ad választ. A feladat típusa szerint lehet lineáris vagy nemlineáris, homogén vagy inhomogén; gyakran összefüggenek a koefficiensekkel.

Analitikus megoldási módszerek közé tartozik a szétválasztás, az integráló tényező és a lineáris egyenletek jellegzetes megoldása, a variációs paraméter módszere. PDE-knél gyakran alkalmaznak Fourier- és Laplace-transzformációt, illetve a karakterisztika módszerét.

Keletkezés és határfeltételek: kezdeti értékfeladatok és határértékfeladatok vezérlik a megoldást. Létezés és egyediség tételei bizonyítják, hogy adott feltételek mellett a megoldás létezik és egyedi.

Numerikus módszerek nélkül sok problémát nem lehet megoldani: Euler-, Runge–Kutta- és többlépéses módszerek ODE-knél, míg parciális differenciálegyenletek esetén a véges differencia és a véges elem módszerek terjedtek el.

Alkalmazások: mechanika, elektromágnesesség, hővezetés, biológiai modellek, gazdasági folyamatok és irányítástechnika.