Derivaatteja

Derivaatta on keskeinen käsite differentiaalilaskennassa. Se mittaa funktion muutosnopeutta pisteessä. Yksinkertaisimmillaan derivaatta voidaan ajatella funktion kuvaajan tangentin kulmakertoimena kyseisessä pisteessä. Jos funktiota merkitään f(x), sen derivaattaa merkitään yleisesti f'(x) tai dy/dx. Derivaatta kertoo, kuinka paljon funktion arvo muuttuu, kun sen argumentti muuttuu hyvin vähän.

Matemaattisesti derivaatta määritellään raja-arvona. Funktion f(x) derivaatta pisteessä x on raja-arvo lausekkeelle (f(x+h) - f(x)) / h, kun h lähestyy nollaa. Tämä määritelmä kuvaa keskimääräisen muutosnopeuden lähestymistä hetkelliseen muutosnopeuteen.

Derivaatoilla on lukuisia sovelluksia matematiikassa, fysiikassa, taloustieteessä ja monilla muilla aloilla. Niitä käytetään muun muassa funktion suurimpien ja pienimpien arvojen etsimiseen, nopeuden ja kiihtyvyyden laskemiseen sekä optimointiongelmien ratkaisemiseen. Derivaatan laskemista kutsutaan derivoinniksi, ja siihen on olemassa erilaisia sääntöjä ja kaavoja, jotka helpottavat erilaisten funktioiden derivaattojen löytämistä.