Derivaatteet

Derivaatteet ovat matemaattinen käsite, joka kuvaa minkälaisella nopeudella jokin funktio f muuttuu yhdellä muuttujalla x. Derivaatta pisteessä x0 määritellään raja-arvona, jos se on olemassa: f'(x0) = lim h→0 [f(x0 + h) - f(x0)] / h. Derivaatta kertoo f:n väliarvon muutosnopeuden pisteessä x0.

Notaatio ja tulkinta: yleisimmin käytetään f'(x) tai dy/dx, ja sitä tulkitaan tangenttisuoran kulmakertoimeksi kuvaajan f(x) käyrälle kohdassa x. Se ilmaisee myös funktion arvojen muutoksen nopeuden suhteessa muuttujaan x.

Säännöt ja laajat käyttötarpeet: Derivaattojen laskussa noudatetaan perussääntöjä kuten summa-, tulo- ja osamääräsääntö sekä ketjusääntö. Esimerkiksi (uv)' = u'v + uv', (u/v)' = (u'v - uv') / v^2, ja (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x). Myös korkeammat derivaatat kuten f''(x) ovat käytössä.

Esimerkki: Olkoon f(x) = x^2. Tällöin f'(x) = 2x, ja f'(3) = 6. Tangenttisuoran yhtälö käyrälle f käyrän kohdalla x=3 on y - 9 = 6(x - 3), eli y = 6x - 9.

Sovellukset: Derivaatteita käytetään muun muassa fysiikassa nopeuden ja kiihtyvyyden mallintamiseen, taloustieteessä marginaalisen muutoksen arviointiin sekä optimoinnissa paikallisten maksimoiden tai minimoiden löytämiseen ja käyrien muodon analysointiin.