Binäärirelaatio

Binäärirelaatio on joukko-opin käsite, joka kuvaa suhdetta kahden joukon välillä. Se määritellään järjestettyjen pariensa joukkona. Jos meillä on joukot A ja B, binäärirelaatio R joukosta A joukkoon B on joukko R, joka on A x B:n osajoukko, missä A x B on A:n ja B:n karteesinen tulo. Toisin sanoen, R sisältää kaikki ne järjestetyt parit (a, b), joissa a kuuluu joukkoon A ja b kuuluu joukkoon B, ja jotka täyttävät jonkin tietyn ehdon tai säännön.

Binäärirelaatioita käytetään mallintamaan erilaisia suhteita. Esimerkiksi, jos A on ihmisten joukko ja B on kaupunkien joukko, binäärirelaatio voisi kuvata suhdetta "asuu kaupungissa". Tällöin pari (ihminen, kaupunki) kuuluisi relaatioon, jos kyseinen ihminen asuu kyseisessä kaupungissa. Toinen esimerkki on matemaattinen suhde, kuten "on pienempi kuin". Jos A ja B ovat molemmat lukujoukkoja, relaatio < kuuluisi A x A:han ja sisältäisi kaikki parit (x, y) siten, että x < y.

Binäärirelaatioilla on useita tärkeitä ominaisuuksia, kuten refleksiivisyys, symmetrisyys, antisymmetrisyys ja transitiivisuus. Refleksiivinen relaatio sisältää aina kaikki parit (a, a) kaikille a joukossa. Symmetrinen relaatio, jos (a, b) kuuluu relaatioon, niin myös (b, a) kuuluu siihen. Antisymmetrinen relaatio taas vaatii, että jos (a, b) ja (b, a) kuuluvat relaatioon, niin a = b. Transitiivinen relaatio täyttää ehdon: jos (a, b) ja (b, c) kuuluvat relaatioon, niin myös (a, c) kuuluu siihen. Näillä ominaisuuksilla on merkitystä erityisesti kuvattaessa matemaattisia rakenteita ja tietokantojen suhteita.